Probabilidades do Euromilhões

Publicado em 23 de Julho de 2008 por Américo Tavares

 

O blogue A MATEMÁTICA ANDA POR AÍ publicou uma tabela onde se pode ler que as probabilidades de obter o 1º (5 números e 2 estrelas), 2º (5 números e 1 estrela) ou 3º (5 números e 0 estrelas) prémios são, respectivamente

\dfrac{\dbinom{45}{0}\dbinom{5}{5}\dbinom{7}{0}\dbinom{2}{2}}{\dbinom{50}{5}\dbinom{9}{2}},

\dfrac{\dbinom{45}{0}\dbinom{5}{5}\dbinom{7}{1}\dbinom{2}{1}}{\dbinom{50}{5}\dbinom{9}{2}}

e

\dfrac{\dbinom{45}{0}\dbinom{5}{5}\dbinom{7}{2}\dbinom{2}{0}}{\dbinom{50}{5}\dbinom{9}{2}}.

NOTAÇÃO: \dbinom{p}{q} é o chamado coeficiente binomial que é, noutra notação, o mesmo que as combinações de p, q a q: ^{p}C_{q} 

\displaystyle\dbinom{p}{q}=^{p}C_{q}=\frac{p!}{q!\left( p-q\right) !}=\frac{p\left( p-1\right)\left( p-2\right) \cdots \left( p-q+1\right) }{p!}

Verificação

O número total de casos possíveis CP é  dado pelo produto do número de casos possíveis relativamente à extracção dos cinco números (N) pelo número de casos possíveis relativamente à  das duas estrelas (E). Ora, como podem sair cinco números em 50, sem interessar a ordem da extracção, há N=\dbinom{50}{5} possibilidades distintas. Quanto às estrelas escolhem-se duas entre nove, pelo que E=\dbinom{9}{2}.

De

N=\dbinom{50}{5}=\dfrac{50\times 49\times 48\times 47\times 46}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=2118760

e

E=\dbinom{9}{2}=\dfrac{9\times 8}{2\times 1}=36

conclui-se que o número de casos possíveis é

CP=N\times E=\dbinom{50}{5}\times \dbinom{9}{2}=2118760\times 36=76275360

Sobre o de casos favoráveis, vejamos o caso do 1.º prémio. O apostador deve acertar em 5 números e 2 estrelas. Se
separarmos o conjunto dos números 1 a 50 em dois conjuntos, A o dos 5 números que foram extraídos e B o dos 45 restantes, o apostador deverá  ter acertado em todos os números de A e em nenhum de B. Há  apenas uma forma de acertar em todos os números de A, que se pode exprimir por \dbinom{5}{5}=1. E igualmente uma única forma de não  acertar \dbinom{45}{0}=1. O número de casos favoráveis de acertos nos números é então:

CFN=\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}=1\times 1=1

Raciocinando de forma idêntica em relação às estrelas, chegamos ao número de casos favoráveis de acertos nas estrelas

CFE=\dbinom{2}{2}\times \dbinom{7}{0}=1

Assim o número de casos favoráveis de acertos nos números e nas estrelas é  apenas um:

CF=CFN\times CFE=\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}\times \dbinom{2}{2}\times\dbinom{7}{0}=1

A probabilidade respectiva é pois

P=\dfrac{CF}{CP}=\dfrac{\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}\times \dbinom{2}{2}\times \dbinom{7}{0}}{\dbinom{50}{5}\times \dbinom{9}{2}}=\dfrac{1}{76275360}

Em relação  ao 2.º prémio, mantém-se o número de 5 acertos nos números e, em vez de duas, o apostador passa a acertar numa estrela; a outra estrela em que apostou faz parte das sete que não saíram :

CFE=\dbinom{2}{1}\times \dbinom{7}{1}=14

Os casos favoráveis passam a

CF=CFN\times CFE=\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}\times \dbinom{2}{1}\times\dbinom{7}{1}=14

e a probabilidade a

P=\dfrac{CF}{CP}=\dfrac{\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}\times \dbinom{2}{1}\times \dbinom{7}{1}}{\dbinom{50}{5}\times \dbinom{9}{2}}=\dfrac{14}{76275360}

Finalmente, no 3.º prémio o apostador acerta em todos os números, mas em nenhuma estrela, ou seja as duas estrelas em que apostou fazem parte das 7 que não saíram, logo

CFE=\dbinom{2}{0}\times \dbinom{7}{2}=1\times \dfrac{7\times 6}{2\times 1}=21

O número de casos favoráveis passa a ser

CF=CFN\times CFE=\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}\times \dbinom{2}{0}\times \dbinom{7}{2}=21

e a probabilidade

P=\dfrac{CF}{CP}=\dfrac{\dbinom{5}{5}\times \dbinom{45}{0}\times \dbinom{2}{0}\times \dbinom{7}{2}}{\dbinom{50}{5}\times \dbinom{9}{2}}=\dfrac{21}{76275360}.

25-5-2009: corrigido erro no denominador das fórmulas e acrescentada verificação.

16-5-2010: alterado ligeiramente o texto.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Probabilidades do Euromilhões

  1. lalas diz:
    25 de Março de 2011 às 20:06

    ou seja…confirma o meu raciocínio de que é preciso ter muita SORTE!!!!

    Responder

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