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Informo que iniciei com este artigo sobre retropagação (backpropagation) o meu blogue Redes neuronais artificiais
GCSE EXAM FINAL QUESTION (link)
Recentemente vi no FB referências a uma questão de matemática do exame inglês conhecido por GCSE (General Certificate of Secondary Education) deste ano, destinado a alunos que deixam a escola aos 16 anos e que não pretendem prosseguir estudos.
Tradução do enunciado. A figura representa três círculos de 4 cm de raio cada. Os centros dos círculos são os pontos , e tais que é uma linha recta e cm. Calcule a área total das duas regiões sombreadas. Apresente a sua resposta em termos de .
Possível resolução. Designemos a área da região sombreada por . Ora.
em que é a área de um segmento de um círculo (veja última figura) de raio cm e ângulo ao centro rad. Para calcular esta área, determinamos primeiro a área de um sector de círculo de raio cm e ângulo ao centro rad, retirando-lhe depois a área do triângulo (da segunda figura), em que é o ponto intersecção de duas circunferências concorrentes, por exemplo a do meio e a da direita e é o ponto simétrico de na vertical
Então,
Seja o ponto equidistante de e . Mas como a área do triângulo rectângulo (rectângulo em , base cm e altura cm) é
a área vem
Donde a área pedida será
Segmento de círculo (a vermelho) e sector de círculo (regiões azul e vermelha; ângulo ao centro e raio )
Comentário. No contexto de exame, parece-me uma questão difícil.
Usando trigonometria, pode demonstrar-se que se o raio for e o ângulo ao centro , a área do segmento de círculo é igual a
com expresso em radianos. No entanto, por ser mais simples, na resolução geométrica sugerida, recorri apenas ao teoremas de Pitágoras.
No artigo (de Machine Learning) de Sébastien Bubeck e Mark Sellke A Universal Law of Robustnesss via Isoperimetry é utilizada a desigualdade de Hoeffding, [Hoeffding, Wassily (1963)] na demonstração do teorema principal. Esta desigualdade probabilística apresenta o seguinte enunciado, em tradução do original
Desigualdade de Hoeffding [Hoeffding, Wassily (1963) Theorem 2]: Se forem variáveis aleatórias independentes e , , então, para :
Notação: e , em que a soma e é a esperança matemática de .
Embora a demonstração deste teorema não faça referência explícita à desigualdade de Markov, no caso particular do exercício que apresento a seguir, vou usá-la para facilitar a sua demonstração, à semelhança do que é feito neste vídeo de MIT RES.6-012 Introduction to Probability. No exercício, à excepção da utilização da desigualdade de Markov, sigo, para mais fácil generalização, os passos da demonstração do teorema original adaptada ao caso apresentado.
Desigualdade de Markov: se for uma variável aleatória positiva ou nula cuja esperança matemática se designa por e uma constante positiva, então
Exercício (caso particular da desigualdade de Hoeffding): Sejam , , , variáveis aleatórias independentes que tomam, com igual probabilidade, os valores e
Designando a média das variáveis aleatórias por , em que é a sua soma, e fazendo uso da desigualdade de Markov, determine o seguinte majorante da probabilidade da média ser pelo menos
Resolução: Se substituirmos em , obtemos a probabilidade equivalente
Seja, agora, uma constante positiva arbitrária. Como a condição é equivalente a , podemos escrever
Para majorar esta última probabilidade usamos a desigualdade de Markov,
que aplicada a este caso se traduz em
Substituindo o valor de , tem-se
Dado que a função exponencial é convexa, o seu gráfico é limitado superiormente, no intervalo , pela recta que une os pontos e , cuja equação é dada por
Assim,
pelo que satisfaz a condição
atendendo a que , pois a distribuição de cada é simétrica.
De e resulta então
Para facilitar o resto do cálculo, vamos agora reescrever :
em que o expoente . As duas primeiras derivadas de são
A segunda derivada admite a seguinte factorização
isto é, em que , uma vez que . Ora, o máximo de ocorre quando , donde . Pelo desenvolvimento em série de Taylor, dado que , vem
No gráfico anterior mostram-se os andamentos de , e . De e , resulta que , e de ,
Designe-se o expoente de por . Visto que e , o segundo membro de tem o mínimo em . Finalmente, inserindo este valor em , obtemos o majorante de indicado em , o que demonstra a desigualdade de Hoeffding, neste caso específico.
Apresentam-se dois exemplos gráficos para os casos e .
[Hoeffding, Wassily (1963)] Probability inequalities for sums of bounded random variables (PDF). Journal of the American Statistical Association. 58 (301): 13–30. Acessível via Wikipedia
Na questão de DannyBoy Find the first four non-zero terms of the Maclaurin series of , no MSE, pretende-se achar os quatro primeiros termos da série de MacLaurin, sem calcular as derivadas, da função .
Tradução da minha resposta.
A partir das séries de Maclaurin
e
podemos obter o desenvolvimento de como é explicado nos seguintes passos:
P.S. A ideia foi desenvolver cada um dos factores de em série de MacLaurin, aproveitando apenas os termos até .
Aproveito esta altura do ano para publicar o mapa das visualizações do blog desde que WordPress passou a disponibilizá-las nesta forma e os principais países de proveniência dos visitantes
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Na questão de complexanalysis How do I write the Laurent series for for ?, no MSE, pretende-se desenvolver a função em série de Laurent na coroa circular .
Tradução da minha resposta.
A. Quando a função dada é da forma , sendo e polinómios em , o primeiro passo é desenvolvê-la em fracções parciais. Devido à forma de isto quer dizer que
Para determinar os coeficientes pode usar-se o método de Heaviside.
Então
B. Para facilitar algumas manipulações algébricas vamos agora fazer a substituição . Então a coroa circular transforma-se na nova coroa , centrada em , e converte-se em
Assim, pela equação pode fazer-se o seguinte desenvolvimento da função
C. Cada termo pode ser desenvolvido numa série geométrica específica:
1. Para e usando a soma da série geométrica complexa , o primeiro termo pode ser escrito como
e desenvolvido da seguinte maneira
2. Quanto ao segundo termo, também para , como
pode desenvolver-se na forma
3. Quanto ao terceiro, se , tem-se
D. Das equações decorre que para , se tem
Em termos da função dada , tem-se, portanto, o seguinte desenvolvimento para :
Na questão Evaluate an improper integral using complex analysis, no MSE, Simplyorange pretende determinar o valor do integral
usando análise complexa.
Tradução da minha resposta.
Baseada nesta resposta à questão “How to evaluate ” (Como calcular ) e nesta resposta à questão “Evaluate ” (Cálculo de ) . Em vez de uma função com no numerador, consideramos uma função com . Este método é exactamente o mesmo do indicado nos links dos comentários.
Para este método dá a seguinte fórmula explícita
Escolhi a função multívoca com uma linha de ramificação definida por
e integrei-a no sentido directo ao longo do contorno fechado mostrado na figura. Este contorno é furado em redor do ponto de ramificação e consiste nos círculos () e (), e no segmento descrito no sentido positivo por cima do eixo dos e no sentido negativo por baixo do eixo dos .
Contorno fechado
No segmento “superior” , () e
No segmento “inferior” , () e
Como tal,
desde que
Pelo teorema dos resíduos
Supomos agora que . Então
visto que
Tomando a parte imaginária de obtém-se na forma
——
Prova de que . Se é um qualquer ponto de ,
em que
porque
Isto implica que
De maneira semelhante, se é um ponto qualquer de
em que
e
(Old) Question posted by Felipe Maia to math.stackexchange.com :
The integer 17 belongs to the residue class modulo m of 24. Find m.
(…) I thought of calculating m for the values of the divisors of 24, that is, making m belonging to D (24). (…)
Definition of residue. The number in the congruence is called the residue of . In the case at hand and .
This means that for some integer the following equality holds . You should then have , where and are positive integers. This implies that , because is a prime number, that is, it has no divisors, except and .