Uma questão do exame de Matemática inglês GCSE

Publicado em 1 de Junho de 2022 por Américo Tavares

GCSE EXAM FINAL QUESTION (link)

(Versão do artigo em pdf)

Recentemente vi no FB referências a uma questão de matemática do exame inglês conhecido por GCSE (General Certificate of Secondary Education) deste ano, destinado a alunos que deixam a escola aos 16 anos e que não pretendem prosseguir estudos.

Tradução do enunciado. A figura representa três círculos de 4 cm de raio cada. Os centros dos círculos são os pontos A, B e C tais que ABC é uma linha recta e AB=BC=4 cm. Calcule a área total das duas regiões sombreadas. Apresente a sua resposta em termos de \pi.

gcse-fig0

Possível resolução. Designemos a área da região sombreada por A. Ora.

A=\pi r^{2}-4A_{\text{seg. circ.}}

em que A_{\text{seg. circ.}} é a área de um segmento de um círculo (veja última figura) de raio r=4 cm e ângulo ao centro \theta =120{{}^{\circ }}=\frac{2\pi }{3} rad. Para calcular esta área, determinamos primeiro a área A_{\text{seg. circ.}} de um sector de círculo de raio r=4 cm e ângulo ao centro \theta =\frac{2\pi }{3} rad, retirando-lhe depois a área A_{\triangle\mathrm{PQC}} do triângulo PQC (da segunda figura), em que P é o ponto intersecção de duas circunferências concorrentes, por exemplo a do meio e a da direita e Q é o ponto simétrico de P na vertical

gcse-fig1

Então,

A_{\text{sec. circ.}}=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta =\dfrac{16\pi }{3}\,\text{cm}^{2}

Seja T o ponto equidistante de B e C. Mas como a área do triângulo rectângulo PTC (rectângulo em T, base b=TC=2 cm e altura h=PT=\sqrt{12}=2\sqrt{3} cm) é

A_{\triangle \text{PTC}}=\dfrac{bh}{2}=2\sqrt{3}\,\text{cm}^{2}=\dfrac{A_{\triangle \text{PQC}}}{2}

a área A_{\text{seg. circ.}} vem

A_{\text{seg. circ.}}=A_{\text{sec. circ.}}-A_{\triangle \text{PQC}}=A_{\text{sec. circ.}}-2\times A_{\triangle\mathrm{PTC}}=\dfrac{16\pi }{3}-4\sqrt{3}\,\text{cm}^{2}

Donde a área pedida será

A=\pi r^{2}-4A_{\text{seg. circ.}}=16\pi -4\left(\dfrac{16\pi }{3}-4\sqrt{3}\right) =-\dfrac{16}{3}\pi +16\sqrt{3}\, \text{cm}^{2}

 

gcse-fig2

Segmento de círculo \overset{ \huge\frown}{PCQP} (a vermelho) e sector de círculo \overset{ \huge\frown}{BPCQB} (regiões azul e vermelha; ângulo ao centro \angle PBQ e raio r=BP=4)

Comentário. No contexto de exame, parece-me uma questão difícil.

Usando trigonometria, pode demonstrar-se que se o raio for r e o ângulo ao centro \theta, a área do segmento de círculo é igual a

\dfrac{r^2}{2}(\theta - \text{sen}(\theta))

com \theta expresso em radianos. No entanto, por ser mais simples, na resolução geométrica sugerida, recorri apenas ao teoremas de Pitágoras.

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Sobre Américo Tavares

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