Perímetro da astróide

Publicado em 13 de Agosto de 2008 por Américo Tavares

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A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto P de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide — não confundir com asteróide  — e as suas equações paramétricas são

x=a\cos^{3}t

y=a\sin^{3}t

e a cartesiana,

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.

O gráfico, para a=1, é o seguinte

 

Sabe-se (*) que se a derivada de uma função real f existir e for contínua no intervalo \lbrack a,b\rbrack , o gráfico de f é rectificável e o seu comprimento L, entre os dois pontos de abcissa a e b, é dado por

L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx (1)

ou, se x,y forem funções reais da variável real t 

x=\varphi (t)

y=\psi (t),

com primeira derivada contínua, então

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt (2).

Determine o perímetro da curva representada (a=1).

Sugestão: calcule através do integral (2) o comprimento do troço da astróide definido por 0\le t\le \dfrac{\pi}{2} e daí obtenha o perímetro.

Resposta: 6

 

Resolução:

Vou seguir a sugestão, uma vez que a curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, o seu perímetro L é quatro vezes o valor do integral seguinte

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left( -3\cos^2 t\cdot\sin t\right) ^{2}+\left( 3\sin^2 t\cdot\cos t\right) ^{2}}\; dt

=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\cos^2 t\cdot\sin^2 t}\; dt=3\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cdot\cos t\; dt =3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2};

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L=4I=6.

Edição de 30-9-2008: acrescentado pdf e corrigida uma gralha num integral

(*) Justificação nesta minha entrada.

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Perímetro da astróide

  1. Arthur Antônio. diz:
    5 de Janeiro de 2023 às 15:43

    Uma dúvida:
    Neste mesmo exercício (cálculo do perímetro da astróide para a = 1), o resultado não teria que ser 3 unidades de comprimento? Pois, na integral mencionada, ao invés de usar a diferencial de sen(t) (que, no caso é: d(sen(t)) = cos(t) dt) usar o seno do arco dobro (isto é:
    sen(2t) = 2 sen(t)cos(t) [=> sen(t)cos(t) = sen(2t)/2]) como ferramenta, o resultado da integral I passa a ser 3/4 , uma vez que a integral de sen(2t) é o -cos(2t)/2; portanto, L = 4I = 3 u.c.
    No entanto, entendi muito o raciocínio proposto e, por isso, a minha dúvida.

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