Desenvolvimento de 1/((z-i)z^2) em série de Laurent numa coroa circular descentrada da origem

Publicado em 24 de Julho de 2020 por Américo Tavares

Na questão de complexanalysis How do I write the Laurent series for \dfrac{1}{z^2(z-i)} for 1<|z-1|<\sqrt{2}?, no MSE, pretende-se desenvolver a função \dfrac{1}{z^2(z-i)}  em série de Laurent na coroa circular 1<|z-1|<\sqrt2.

Tradução da minha resposta.

A. Quando a função dada é da forma f(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)}, sendo p(z) e q(z) polinómios em z, o primeiro passo é desenvolvê-la em fracções parciais. Devido à forma de f(z) isto quer dizer que

f(z)\equiv\dfrac{1}{z^{2}\left(z-i\right)}=\dfrac{A}{z^{2}}+\dfrac{B}{z}+\dfrac{C}{z-i}.\qquad\qquad(1)

Para determinar os coeficientes pode usar-se o  método de Heaviside.

  • Para determinar C, multiplica-se por \left(z-i\right) e, usando a raíz z=i do denominador q(z)= z^{2}\left( z-i\right),  calcula-se o limite

C=\displaystyle\lim_{z\rightarrow i}f(z)\left( z-i\right) =\displaystyle\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{1}{z^{2}}=\dfrac{1}{i^{2}}=-1.

  • Para calcular A, multiplica-se por z^{2} e usa-se a raíz z=0 de q(z):

A=\displaystyle\lim_{z\rightarrow 0}f(z)z^{2}=\displaystyle\lim_{z\rightarrow 0}\dfrac{1}{z-i}=i.

  • Para determinar B, substitui-se C e A numa das equações resultantes da multiplicação de (1) por \left( z-i\right) ou z^{2}, e escolhe-se um z que não a anule, p. ex. z=1:

f(z)\left( z-i\right) =\dfrac{1}{z^{2}}=\dfrac{A}{z^{2}}\left( z-i\right) +\dfrac{B}{z}\left( z-i\right) +C,

z=1\implies 1=i\left(1-i\right) +B\left(1-i\right) -1\implies B=1.

Então

f(z)\equiv\dfrac{1}{z^{2}\left(z-i\right)}=\dfrac{i}{z^{2}}+\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{z-i}.\qquad\qquad(2)

B. Para facilitar algumas manipulações algébricas vamos agora fazer a substituição w=z-1. Então a coroa circular 1<\left\vert z-1\right\vert <\sqrt{2} transforma-se na nova coroa 1<\left\vert w\right\vert <\sqrt{2}, centrada em w=0, e \dfrac{1}{z^{2}\left( z-i\right) } converte-se em

\dfrac{1}{z^{2}\left( z-i\right) }=\dfrac{1}{\left( w+1\right)^{2}\left[ w+\left( 1-i\right) \right] }\equiv g(w).\qquad\qquad(3)

Assim, pela equação (2) pode fazer-se o seguinte desenvolvimento da função g(w)

g(w)=\dfrac{1}{w+1}+\dfrac{i}{\left( w+1\right) ^{2}}-\dfrac{1}{w+\left( 1-i\right) }.\qquad\qquad(4)

C. Cada termo pode ser desenvolvido numa série geométrica específica:

1. Para 1<\left\vert w\right\vert e usando a soma da série geométrica complexa \displaystyle\sum_{n\geq 0}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{w^{n}}=\dfrac{1}{1-\left(-1/w\right) }, o primeiro termo pode ser escrito como

g_{1}(w)\equiv\dfrac{1}{w+1}=\dfrac{1}{w}\dfrac{1}{1+1/w}=\dfrac{1}{w}\dfrac{1}{1-\left( -1/w\right) }

e desenvolvido da seguinte maneira

g_{1}(w)=\dfrac{1}{w}\displaystyle\sum_{n\geq 0}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{w^{n}}=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{w^{n+1}}, \text{ for } 1<\left\vert w\right\vert.\qquad\qquad(5)

2. Quanto ao segundo termo, também para \left\vert w\right\vert >1, como

\dfrac{1}{\left( w+1\right)^{2}}=-\dfrac{d}{dw}\left(\dfrac{1}{w+1}\right) =-\dfrac{d}{dw}g_{1}(w),

pode desenvolver-se na forma

\begin{aligned}g_{2}(w)&\equiv\dfrac{i}{\left(w+1\right)^{2}}=-i\dfrac{d}{dw}g_{1}(w)=-i\dfrac{d}{dw}\displaystyle\sum_{n\geq 0}\dfrac{\left(-1\right) ^{n}}{w^{n+1}}\\ \\&=i\displaystyle\sum_{n\geq 0}\left( -1\right) ^{n}\frac{n+1}{w^{n+2}}=-i\displaystyle\sum_{n\geq 1}\left(-1\right)^{n}\dfrac{n}{w^{n+1}},\text{ for }1<\left\vert w\right\vert.\qquad\qquad(6)\end{aligned}

3. Quanto ao terceiro, se \left\vert -\dfrac{w}{1-i}\right\vert =\dfrac{\left\vert w\right\vert}{\sqrt{2}}<1, tem-se

\begin{aligned}g_{3}(w)&\equiv\dfrac{1}{w+\left( 1-i\right) }=\dfrac{1}{1-i}\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{w}{1-i}\right) }\\ \\&=\dfrac{1}{1-i}\displaystyle\sum_{n\geq 0}\dfrac{\left(-1\right)^{n}w^{n}}{\left(1-i\right)^{n}}=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\dfrac{\left(-1\right) ^{n}w^{n}}{\left(1-i\right) ^{n+1}}\text{ for }\left\vert w\right\vert <\sqrt{2}.\qquad\qquad(7)\end{aligned}

D. Das equações (5)-(7) decorre que para 1<\left\vert w\right\vert<\sqrt{2}, se tem

\begin{aligned}g(w)&=g_{1}(w)+g_{2}(w)+g_{3}(w) \\ \\&=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\left(-1\right)^{n}\left[\dfrac{1-in}{w^{n+1}}+\dfrac{w^{n}}{\left(1-i\right) ^{n+1}}\right] \text{ for }1<\left\vert w\right\vert <\sqrt{2}. \qquad\qquad(8)\end{aligned}

Em termos da função dada f(z), tem-se, portanto, o seguinte desenvolvimento para 1<\left\vert z-1\right\vert <\sqrt{2}:

f(z)=\displaystyle\sum_{n\geq 0}\left(-1\right)^{n}\left[\dfrac{1-in}{\left( z-1\right)^{n+1}}+\dfrac{\left(z-1\right)^{n}}{\left(1-i\right)^{n+1}}\right] \text{ for }1<\left\vert z-1\right\vert <\sqrt{2}.\qquad\qquad(9)

 

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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