Na questão Evaluate an improper integral using complex analysis, no MSE, Simplyorange pretende determinar o valor do integral
usando análise complexa.
Tradução da minha resposta.
Baseada nesta resposta à questão “How to evaluate ” (Como calcular ) e nesta resposta à questão “Evaluate ” (Cálculo de ) . Em vez de uma função com no numerador, consideramos uma função com . Este método é exactamente o mesmo do indicado nos links dos comentários.
Para este método dá a seguinte fórmula explícita
Escolhi a função multívoca com uma linha de ramificação definida por
e integrei-a no sentido directo ao longo do contorno fechado mostrado na figura. Este contorno é furado em redor do ponto de ramificação e consiste nos círculos () e (), e no segmento descrito no sentido positivo por cima do eixo dos e no sentido negativo por baixo do eixo dos .
Contorno fechado
No segmento “superior” , () e
No segmento “inferior” , () e
Como tal,
desde que
Pelo teorema dos resíduos
Supomos agora que . Então
visto que
Tomando a parte imaginária de obtém-se na forma
——
Prova de que . Se é um qualquer ponto de ,
em que
porque
Isto implica que
De maneira semelhante, se é um ponto qualquer de
em que
e