Equação quártica simétrica

Publicado em 2 de Maio de 2012 por Américo Tavares

A determinação das quatro soluções da equação quártica simétrica

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0\qquad (1)

é bastante fácil, como passo a explicar. Não sendo o termo constante a nulo x=0 não é raíz da equação. Dividindo por x^2 fica

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c+bx^{-1}+ax^{-2}&=0\\a\left( x^{2}+x^{-2}\right) +b\left( x+x^{-1}\right) +c&=0\end{aligned}

Fazendo a seguinte mudança de variáveis

z=x+x^{-1}\qquad (2)

obtemos

x^{2}+x^{-2}=z^{2}-2

e

\begin{aligned}a\left( z^{2}-2\right) +bz+c&=0\\az^{2}+bz+c-2a&=0\end{aligned}

Esta equação em z tem as duas raízes

z_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}

z_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}.

Resolvendo (2) em ordem a x, tem-se

x=\dfrac{1}{2}z\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{z^{2}-4}=\dfrac{1}{2}z\pm\sqrt{\dfrac{z^{2}}{4}-1}

donde as quatro soluções de (1) são

\begin{aligned}x_{1}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{2}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\end{aligned}

e

\begin{aligned}x_{3}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{4}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}.\end{aligned}

Artigo relacionado: Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Equação quártica simétrica

  1. Almir Sotero diz:
    4 de Maio de 2012 às 23:33

    Acho que há um erro nessa solução, depois de dividir por x^2 e colocar em evidência o indice a foi repetido pois esta em evidencia com o x^2 e x^-2 aparecendo novamente no final sozinho junto ao indice c.

    Responder

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