ver/see Problema do mês Problem of the month
Problem: Let be a continuous unbounded real function in the interval . May the improper integral converge?
Solution by Jacques Glorieux:
The graph of this function is made of a series of triangles. For , triangle number ‘‘ has for height and for base. The curve so delimited is related to a continuous and unbounded function. The integral of this function is the sum of the areas of the triangles. The area of triangle number is . The sum of the areas is thus the sum from to infinity of the terms of the form . This sum is (a well known result (*) ). Thus the integral converges.
Other solver: fatima
* * *
Problema: Seja uma função real contínua ilimitada no intervalo . O integral impróprio pode ser convergente?
Resolução de Jacques Glorieux:
O gráfico desta função é constituído por uma série de triângulos. Para , o triângulo número ‘‘ tem de altura e de base. A curva assim delimitada está relacionada com uma função contínua ilimitada, cujo integral é a soma das áreas dos triângulos. A área do triângulo número é . Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de até infinito dos termos da forma . Esta soma é (um resultado bem conhecido (*) ). Por conseguinte o integral é convergente.
Outra resolução: fatima
(*) [A proof here (in Portuguese) / Uma prova aqui, A. Tavares]
[Typo corrected, corrigida gralha A. Tavares]
[Graph corrected, corrigido gráfico A. Tavares]