Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo.
O objectivo fundamental do seu ensino no liceu era o de «preparar o aluno para prosseguir estudos superiores»(p.IX) e o programa oficial: «Teoria dos números inteiros considerados como representando colecções de objectos idênticos, e das suas operações. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Teoria dos números fraccionários e das suas operações.» Dizem os autores: «Para que a Aritmética se possa chamar Racional é indispensável que ela seja apresentada sob a forma duma teoria dedutiva, e para isso é necessário distinguir cuidadosamente as proposições primitivas das proposições demonstráveis».(p. IX)
Ao expor as leis da unicidade, associativa, modular e comutativa da adição e da multiplicação (p.20-21), enquadram-nas nas leis dum Grupóide, conceito da Álgebra Moderna que não aparece no meu livro do liceu, com o mesmo nome, da década de 1960, de J. Jorge Calado.
Como ilustração do método usado transcrevo o enunciado, a demonstração e um exercício de aplicação do teorema de Fermat. (p. 152-154)
« Teorema 13. (De Fermat). Se
fôr primo então
.
Dem. Seja
e consideremos os produtos:
.
Nenhum produto
(onde
) pode verificar a condição
, porque então seria (§57)
(o que é impossível por hipótese).
Por outro lado, se
não pode ser
, porque se fôsse
, seria (Teor. 10)
. Ora sendo
e
inferiores a
e
seja divisível por
, o que contradiz a hipótese
são dois a dois incongruentes entre si e nenhum dêles é congruente a
. Podemos, por isso, afirmar que
são, respectivamente, congrupentes aos inteiros
escritos numa certa ordem. Daqui resulta que:
ou
ou ainda
donde, pela lei do Corte:
c. q. d. »
« Exercício 10. Se
não fôr divisível por
ou
.
[ Sugestão: Note que
]
Aplicação: O cubo dum inteiro não divisível por
é um múltiplo de
»
Problemas e Teoremas 
Quando estudamos pela primeira vez a disciplina Teoria dos Números na Faculdade nos deparamos com este teorema (nós o chamamos de “O Pequeno Teorema de Fermat”) não fazemos idéia de sua importância e aplicabilidade, muitos problemas de álgebra podem ser resolvidos utilizando-se este teorema.
Caro Diego Sousa,
Convido-o a enviar-me ou a colocar aqui, nos comentários, um problema (interessante) que possa ser resolvido, aplicando este teorema de Fermat. Sobre o seu nome o livro só diz que é de Fermat, em vez de “Pequeno Teorema de Fermat”, como é conhecido, nos nossos dias; mas claro que nada tem a ver com o “Último Teorema de Fermat”.