Exercício simples sobre séries

Publicado em 15 de Junho de 2015 por Américo Tavares

Exercício: Se

A=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}

determinar

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}

Resolução: podemos decompor A nos termos de ordem par e ímpar e resolver a equação resultante em ordem à série dos termos ímpares:

\begin{aligned}A&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}=\displaystyle\sum_{n=1,3,5,\ldots }^{\infty } \dfrac{1}{n^{4}}+\displaystyle\sum_{n=2,4,6,\ldots }^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{ (2n)^{4}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{ 2^{4}n^{4}}\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}+\dfrac{1}{2^{4}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}\\&=\left( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}\right) +\dfrac{A}{2^{4}}\end{aligned}

Tem-se pois

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n-1)^{4}}=A-\dfrac{A}{2^{4}}=\dfrac{15}{16}A.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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