Séries de Fourier 1 – Sistemas de Funções Ortogonais

Publicado em 6 de Junho de 2008 por Américo Tavares

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Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo

f(x)=\displaystyle\sum_{n} c_{n}\phi_{n}(x)

em que \phi_{n}(x) são precisamente funções ortogonais em \lbrack a ,b\rbrack .

Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições:

\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx=0\qquad \text{para }n\neq m

\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx>0\qquad \text{para }n=m

Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo \cos nx e \sin nx.

Chama-se norma de um sistema de funções ortogonais a

\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\sqrt{\left( \phi_{n}\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}.

Um sistema ortogonal diz-se ortonormado se a sua norma for igual à unidade: \left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =1. 

Exemplo 1: \phi_{n}\left( x\right) =e^{inx} definida em \lbrack -\pi ,\pi\rbrack .

\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx

=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\, e^{-imx}\;dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left( n-m\right)x} \;dx =\dfrac{1}{i\left( n-m\right)}\times \left[ e^{i\left( n-m\right) x}\right] _{-\pi }^{\pi }

=0\qquad \text{para }n\neq m

=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\;dx=2\pi\qquad \text{para }n=m

\left\vert \left\vert e^{inx}\right\vert \right\vert =\sqrt{2\pi}. \blacktriangleleft

Consideremos uma função de variável real f(x)

f(x)=\displaystyle\sum_{n}c_{n}\phi_{n}(x)\qquad a\le x\le b

 

e as seguintes hipóteses:

  1. a série converge;
  2. converge para f(x)

Multiplicando a série por \overline{\phi }_{n}(x) vem

f(x)\overline{\phi }_{n}(x)=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)

e

\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi }_{m}(x)\; dx=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\int_{a}^{b}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)\; dx

 porque pode trocar-se a ordem de \displaystyle\int e \displaystyle\sum, se admitirmos a convergência uniforme da série no intervalo \lbrack a ,b\rbrack . Assim,

\displaystyle\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)=c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2},

ou seja,

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}

Aos coeficientes c_n chamam-se os coeficientes de Fourier. À série chama-se série de Fourier relativa ao conjunto de funções ortogonais \phi_n(x).

NOTA: esta dedução não é rigorosa!

Consideremos uma função f(x) de quadrado integrável no intervalo \left[ a,b \right]. Vamos aproximar f(x) por uma expressão da forma

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)

Seja \epsilon o erro quadrático médio. Vamos impor que \epsilon^2 seja mínimo.

\epsilon^2= \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)\right\vert^2\; dx

o que é o mesmo que

(b-a)\epsilon^2= \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}

+\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2.

DEDUÇÃO:

Dados dois complexos z e w, verifica-se

|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w.

Assim, tem-se

\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}= \left\vert f(x)\right\vert^{2} +\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2} -f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x) -\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x),

\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^2=\left (\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right )\overline{\left (\displaystyle\sum_{m=1}^{N}c_{m}\phi_{m}\right )}=\displaystyle\sum_{n,m=1}^{N}c_{n}\overline{c}_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi}_{m}(x)

e

\left\vert c_n||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_n(x)\; dx\right\vert ^2 =|c_n|^2||\phi_n||^2 +\left\vert\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int f(x)\overline{\phi}_{n}(x)\; dx\right\vert ^2 -c_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\phi_{n}(x)\; dx -\overline{c}_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_{n}\; dx

donde vai resultar

\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx= \displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{2}\; dx +\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}\; dx -\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)\; dx -\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\; dx

=\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert ^2\; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2} +\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left\vert c_{n}||\phi_n||-\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n}{||\phi_n||}\right\vert ^2,

ou seja, a fórmula acima que se repete:

(b-a)\epsilon^2= \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}

+\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2.

Os termos

\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}

são independentes de c_n. Para minimizar \epsilon deve ter-se

c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert}

que é equivalente a

c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}

ou a

|c_n|^2||\phi_n||^2=\left\vert\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n)}{||\phi||^2}\right\vert ^{2}||\phi_n||^2 =\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}

Vimos então que os coeficientes da série de Fourier c_n minimizam o erro quadrado médio.

(b-a)\epsilon_{\text{min}}^2= \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx -\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |c_n|^2||\phi_n||^2\ge 0

Fazendo tender N para infinito, no limite tem-se a desigualdade de Bessel

\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx \ge\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2||\phi_n||^2.

Se o sistema for ortonormado, ||\phi_n||=1, e

\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |c_n|^2\le\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2\; dx =\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{f}(x)\; dx=||f||^2

Para as funções de quadrado integrável, a série

\displaystyle\sum_{n=1}^{N} |c_n|^2||\phi_n||^2

converge. A seguinte igualdade verifica-se, se e só se, o erro quadrático médio for nulo; então, será

\displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|^2 \; dx =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2||\phi_n||^2

e o sistema de funções \phi_{n}(x) é completo. Então

\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=0.

Nestas condiçoes, diz-se que a série de Fourier converge em média para f(x), mas a convergência não é necessariamente uniforme. Por definição uma série converge uniformemente para uma função quando simbolicamente se verificar

\underset{\varepsilon >0}{\forall }\; \underset{N_{1}}{\exists }\; \underset{x\in \lbrack a,b]}{\forall }\; N>N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon  

Para cada \varepsilon >0, existe um inteiro N_{1} tal que, N>N_{1} implica \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon , para todo o x no intervalo \lbrack a ,b\rbrack . O facto essencial é que N_{1} é independente de \varepsilon . Normalmente dependeria de \varepsilon .

PS. Fiz ligeiras correcções nas fórmulas e no texto, a última em 10-6-2008.

Actualização de 18-11-2008: mais algumas correcções nas fórmulas e no texto e inclusão da versão em pdf.

 Continua em Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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