Mostre que as duas identidades trigonométricas seguintes são verdadeiras no primeiro quadrante:
1.
2.
Notação usada:
é a função trigonométrica inversa arco cuja tangente é
é a função trigonométrica inversa arco cujo seno é
é a função trigonométrica seno de
é a função trigonométrica tangente de
3-1-2009: justificação da 1.ª identidade
1.ª identidade
A substituição indicada no primeiro comentário ( ) por António Ferrão transforma o primeiro membro da identidade em
e o segundo em
No primeiro quadrante, o e a têm o mesmo sinal e o ângulo Assim, no primeiro quadrante
e
.
Logo, efectivamente
Nota: usada em Série telescópica irracional e trigonométrica
26-5-2009: justificação da 2.ª identidade
2.ª identidade
A identidade
é equivalente a
Fazendo a substituição
tem-se
e a identidade que pretendemos demonstrar transforma-se em
Mas, como
e
.
tem-se de facto
o que justifica a identidade que lhe é equivalente.
Edição de 26-5-2005: alterado título (era “Problema difícil não resolvido sobre Trigonometria) em resultado de ter acrescentado as justificações.
Sugestão para a primeira identidade:
António,
A sua substituição é perfeita (e natural, para quem tem experiência). Acrescentei ao post a dedução detalhada da primeira identidade por este método.
Quando classifiquei este problema como difícil estava a pensar no âmbito do Secundário. Foi nessa categoria que o inseri.
Américo
Foi só uma sugestão…
[António: mas boa, considero eu
Américo]