Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

Publicado em 21 de Janeiro de 2012 por Américo Tavares

No post anterior, ao aplicar o teorema dos resíduos, utilizei a
desigualdade

\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert z-i\right\vert^{2}\left\vert z+i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}\times \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert -i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -1\right\vert ^{4}},

que é uma aplicação de duas desigualdades particulares do tipo

\dfrac{1}{\left\vert z+w\right\vert}\leq\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert }\qquad (\ast),

em que z e w são dois complexos quaisquer cuja soma não seja nula. Como exercício, proponho a demonstração de (\ast),  sugerindo que parta da desigualdade triangular

\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert

e obtenha a desigualdade

\left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert .

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Desigualdades matemáticas, Exercícios Matemáticos, Matemática, Problemas com as etiquetas , , . ligação permanente.

2 respostas a Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

  1. serolmar diz:
    11 de Fevereiro de 2012 às 11:33

    É uma desigualdade engraçada. Apesar de me parecer óbvia, acho interessante o facto de encontrar aplicações em teoria dos resíduos.

    Responder

Deixe um comentário

Este site utiliza o Akismet para reduzir spam. Fica a saber como são processados os dados dos comentários.