Arquivo da Categoria: Séries

Dois métodos de cálculo de ζ(2)

Publicado em 24 de Agosto de 2012 por Américo Tavares

Desta minha resposta no MSE. 1. Desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de Podemos usar a função com e determinar  o seu desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier que é periódico e converge para em . Reparando que é par, … Continuar a ler →

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Um desenvolvimento de uma função em série assimptótica — Uma das respostas no MSE

Publicado em 14 de Junho de 2012 por Américo Tavares

Obtive uma resposta à minha questão, no MSE, suficientemente simples para a perceber, questão essa relativa ao desenvolvimento de uma função na série que aparece em [1]. Divulguei-a nesta entrada, da qual transcrevo o essencial: Em [1] Apéry, R., Irrationalité de … Continuar a ler →

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Desigualdade envolvendo a função exponencial

Publicado em 4 de Junho de 2012 por Américo Tavares

Nesta questão, no MSE,  sssuuuccc pergunta como se pode demonstrar a desigualdade Na minha resposta considerei a seguinte majoração, válida no intervalo considerado pelo que Daqui decorre imediatamente a desigualdade que se pretende demonstrar.

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Dúvidas sobre um desenvolvimento em série divergente. Em que teorema se baseia ?

Publicado em 17 de Maio de 2012 por Américo Tavares

Apesar de ter colocado a questão abaixo traduzida, no MSE e uma versão similar no MathOverflow, ainda continuo com quase as mesmas dúvidas. Motivação: após ler pormenorizadamente um artigo de Alf van der Poorten, li também um bastante curto  de  … Continuar a ler →

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Transformação de séries em fracções contínuas

Publicado em 19 de Abril de 2012 por Américo Tavares

Neste post vou apresentar um exemplo: o desta questão de James, no Mathematics Stack Exchange, em que a série a transformar é Tradução da minha resposta Podemos aplicar a seguinte fórmula de transformação geral de uma série numa fracção contínua, … Continuar a ler →

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Evaluating zeta function at 6, ζ(6)

Publicado em 23 de Março de 2012 por Américo Tavares

Here is my answer to this Mathematics Stach Exchange question  by Chon  on how to compute . I have posted here in Portuguese a recursive method based on the computation of the Fourier trigonometric series expansion for the function defined … Continuar a ler →

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Filipe Oliveira — Divergência da série harmónica

Publicado em 27 de Junho de 2011 por Américo Tavares

Por considerar que merece o devido destaque, transcrevo a prova que o Professor Filipe Oliveira fez o favor de deixar neste seu comentário, em alternativa à que propuz nesta entrada sobre os números harmónicos. Apenas alterei o formato para melhor … Continuar a ler →

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A função eta de Dirichlet e o prolongamento analítico da função zeta

Publicado em 20 de Junho de 2011 por Américo Tavares

Para valores reais a função zeta pode exprimir-se na forma (ver nota) em que a última série é a função  eta de Dirichlet . Dado que para esta série alterna é convergente (porque ), e para , a função pode … Continuar a ler →

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Visualização da convergência de uma série geométrica complexa

Publicado em 15 de Junho de 2011 por Américo Tavares

Este post é essencialmente uma adaptação e interpretação do problema A Converging Rabbit  do blogue Rambling Thoughts  de Moor Xu, do qual obtive a devida permissão.       Considere-se uma linha quebrada que parte da origem e que é constituída … Continuar a ler →

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Determinação dos valores da função zeta nos pares através de uma série de Fourier

Publicado em 25 de Maio de 2011 por Américo Tavares

Para obter valores de , como exercício de Cálculo, retomo a integração por partes da entrada Relações de recorrência geradas pela integração por partes, em particular a última relação de recorrência que vou justificar. Considero a função par  no intervalo … Continuar a ler →

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