Há seis anos tornei-me utilizador de math.stackexchange.com. Eis uma captura de ecrã de hoje da minha página de perfil:
Aproveito para republicar o seguinte post:
Dois métodos de cálculo de ζ(2)
Desta minha resposta no MSE.
1. Desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de
Podemos usar a função com e determinar o seu desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier
que é periódico e converge para em .
Reparando que é par, basta determinar os coeficientes
porque
Para temos
E para obtemos
porque
Assim
Como obtemos
Logo
2. Desenvolvimento em série de (por Eric Rowland; disponível online há alguns anos atrás)
A partir de
fazendo a substituição , obtém-se a série
cujo raio de convergência é igual a . Tomando a parte imaginária de ambos os membros, o 2.º transforma-se em
e o 1.º,
Como
é válido o seguinte desenvolvimento em série
Integrando , obtém-se
Fazendo , obtemos a relação entre e
E para , como
deduz-se
Resolvendo em ordem a
prova-se assim que
Nota: este método gera todos os valores de , integrando repetidamente . Infelizmente não resulta para .
ADENDA de 8-8-2016: acrescento uma cópia do seguinte post com uma resposta dada no MSE
Aplicação da fórmula de Herão: determinação do perímetro de um triângulo dadas as três alturas
Neste meu antigo post apresentei uma dedução geométrica da fórmula de Herão da área de um triângulo, que também pode ser obtida por métodos trigonométricos:
em que é o perímetro e e são os lados.
Na questão recente Find the perimeter of any triangle given the three altitude lengths , no MSE, de Chris Johnson são dados os comprimentos das três alturas e de um triângulo e pede-se um método que permita determinar o seu perímetro. André Nicolas utilizou um que aplica a fórmula de Herão da área de um triângulo. Eis uma tradução de parte da minha resposta, que segue o mesmo método.
No caso geral de um triângulo com alturas perpendiculates respectivamente aos lados , a sua área é . Consequentemente , , , pelo que o perímetro e o semi-perímetro do triângulos são dados por
em que é tal que
Logo
Resolvendo em ordem a , obtemos
e finalmente o perímetro em função de e , sendo uma função de , como atrás indicado:
Para o caso numérico obtém-se .