Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Publicado em 18 de Agosto de 2008 por Américo Tavares

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A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)   

Demonstração 

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

 

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3} desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

[Actualização de 30-9-2008: acrescentado pdf]

ADENDA de 27-11-2008: esta desigualdade é uma consequência directa da identidade de Lagrange demonstrada nesta entrada

Correcção de 1-12-2008: na segunda desigualdade do Teorema

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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16 respostas a Desigualdade de Cauchy-Schwarz

  1. queso diz:
    28 de Setembro de 2008 às 02:28

    muito bonita a demonstraçao.

    valeu

    Responder
  2. Américo Tavares diz:
    28 de Setembro de 2008 às 10:43

    queso,

    Obrigado pelo seu comentário. Fico especialmente contente por ter reconhecido que pode haver beleza na matemática.

    Responder
  3. Silva diz:
    19 de Março de 2009 às 17:41

    Muiito boa. Ajudou-me muitoo

    Responder
  5. Doug Matemático diz:
    20 de Setembro de 2009 às 21:40

    Encontrei um erro, por mais q seja mín.
    Há um erro no índice do x..

    Mas msmo assim vlw

    Responder
  6. tj diz:
    22 de Janeiro de 2010 às 20:43

    Demonstração muito curta, excelente. Pena que não consegui resolvê-la no curso de verão que estou fazendo para o mestrado em Matemática, pois essa era tão fácil.

    Responder
  7. Sartorelli diz:
    29 de Janeiro de 2010 às 11:48

    PROBLEMA: a combinação de 7 numeros diferentes combinados 2 a 2 resulta em 21 combinações diferentes. Se distribuírmos estas combinações em um triângulo cujos vértices são cada numero , obteremos 7 triângulos.

    Responder
    • Américo Tavares diz:
      29 de Janeiro de 2010 às 21:14

      Caro Sartorelli

      Não percebo o que o seu Problema tem a ver com esta desigualdade.

      Quanto à primeira parte do enunciado («a combinação de 7 numeros diferentes combinados 2 a 2 resulta em 21 combinações diferentes») é clara:

      C_{2}^{7}=\dfrac{7!}{2!5!}=\dfrac{7\times 6}{2}=21.

      O que também não é para mim claro é o que diz no resto — «Se distribuírmos estas combinações em um triângulo cujos vértices são cada numero , obteremos 7 triângulos». Pode esclarecer-me?
      Obrigado.

  8. Anderson Machado Ferreira diz:
    23 de Março de 2010 às 19:03

    Agradeço muito à sua dedução da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, foi muito útil para meus estudos na disciplina de Sistemas Lineares do mestrado de Engenharia Elétrica.

    Responder
  9. Marcelo diz:
    8 de Maio de 2014 às 18:12

    Como posso provar que a desigualdade de Cauchy-Schwarz só vale quando os vetores são linearmente dependentes?

    Responder
  10. jessica diz:
    12 de Março de 2015 às 01:00

    só vale quando os vetores são linearmente independentes.

    Responder
  11. Ian diz:
    14 de Junho de 2016 às 14:16

    Por que o discriminante tem que ser menor ou igual a zero?

    Responder
    • Nietzsche diz:
      1 de Setembro de 2019 às 06:30

      Caso seja zero, então, o gráfico da equação “tocará” apenas uma vez o eixo das abcissas, logo, só haverá uma raiz. E, caso o discriminante seja menor do que zero, então, significará que o gráfico estará sempre acima do eixo das abcissas. Dado que a equação é maior ou igual a zero, ou seja, sua imagem no eixo das ordenadas é não negativa, logo, desconsidera-se a possibilidade do discriminante ser maior do que zero,pois neste caso a imagem da função assumiria valores negativos, o que não foi suposto na equação considerada na demonstração da desigualdade de Cauchy-Scharwz acima.

  12. David Almeida diz:
    22 de Outubro de 2017 às 17:40

    Linda demonstração.

    Responder

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